Funciones y ecuaciones lineales

El geometrica  y e álgebra elemental , una función lineal es una funsion polinomica de primer grado; es decir, una función  cuya representación en el plano cartesiano  es una linea recta . Esta función se puede escribir como:

donde m y b son constantes reales  y x es una variable real. La constante m es la pendiente  de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra 

Funciones

El matemáticas , una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinomica  definida por:

con .¹

Las gráficas  de estas funciones corresponden a parábolas  verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice  de la parábola  se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre  el tiro parabólico 

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal  y su integral indefinida es una familia de fusiones cubicas 

Dominio, codominio, recorrido y grafo de una función

Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una función:

	Lo que puede entrar en una función se llama el dominio
	Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio
	Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen

Entonces, en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por la función) son el rango.

Parte de la función

Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio.

De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente.

Ejemplo: una simple función como f(x) = x² puede tener dominio (lo que entra) los números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...}

Formas para presentar una función

Funciones reales

unción real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D    

   x      f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Representación gráfica

Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla.

Las gráficas describen relaciones entre dos variables.

La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x.

La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y.

La variable y está en función de la variable x.

Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones.

Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x.

Kg de patatas	1	2	3	4	5
Precio en €	2	4	6	8	10

Función afín

Una función afín está definida por f(x)=mx+n, donde la variable es real, “m” y “n” son números reales. La representación gráfica de una función afín en el plano cartesiano es una recta.
La variable “m” representa la pendiente de la recta, la cual puede ser positiva (Figura 1) o negativa (Figura 2). La Variable “n” representa el corte con el eje “y”

Ecuación explícita de la recta

Si en la ecuación general de la recta:

despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

      

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY

Ejemplos:

Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

Ecuación general de la recta

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo términos:

Haciendo

Se obtiene

      

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Ejemplos:

1 Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director  igual (-2, 1).

2 Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

Ecuacion paramétrita de la recta

A partir de la ecuación vectorial:

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares:

      

Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director  = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.

Posición relativa de dos rectas en el plano

Dadas dos rectas, Ax + By + C = 0, A'x + B'y + C' = 0, para calcular su posición relativa tendremos en cuenta que:

1 Si , las rectas son secantes, se cortan en un punto.

2 Si , las rectas paralelas, no se cortan en ningún punto.

Sistema de ecuaciones lineales

Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones:

forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El conjunto de ecuaciones:

forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema.

Por ejemplo,

es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2  (la  x  e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas.
El sistema de ecuaciones  es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).

Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí(tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales 

Ineccuaciones

Suponemos que ya conocemos los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y  “≤” (menor o igual que) que usamos para relacionar un número con otro.

Escribimos, por ejemplo, 4 >–1 para señalar que 4 es mayor que –1. También podemos escribir –2 < 3 para señalar que –2 es menor que 3.

Ejemplos como estos se conocen como desigualdades 

Sabido esto, diremos que una inecuación es el enunciado de una desigualdad que incluye alguna de las siguientes relaciones de orden: “mayor que”(>);  “menor que”  (<);  “mayor o igual que” (≥), y “menor o igual que” (≤). En la desigualdad aparece al menos una incógnita o valor desconocido y que se cumple para ciertos valores de ella.

Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación es lineal.

Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades.